title:主成分分析
作用
降维
主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一种常用的降维技术，用于从高维数据中提取主要特征，并将数据投影到一个新的低维空间。
主成分分析能降低所研究的数据空间的维数。即用研究m维的Y空间代替p维的X空间(m<p)，而低维的Y空间代替高维的x空间所损失的信息很少。即：使只有一个主成分Yl(即 m=1)时，这个Yl仍是使用全部X变量(p个)得到的。例如要计算Yl的均值也得使用全部x的均值。在所选的前m个主成分中，如果某个Xi的系数全部近似于零的话，就可以把这个Xi删除，这也是一种删除多余变量的方法。
变量解释
有时可通过因子负荷aij的结论，弄清X变量间的某些关系。
图形分析
多维数据的一种图形表示方法。我们知道当维数大于3时便不能画出几何图形，多元统计研究的问题大都多于3个变量。要把研究的问题用图形表示出来是不可能的。然而，经过主成分分析后，我们可以选取前两个主成分或其中某两个主成分，根据主成分的得分，画出n个样品在二维平面上的分布况，由图形可直观地看出各样品在主分量中的地位，进而还可以对样本进行分类处理，可以由图形发现远离大多数样本点的离群点。
回归分析
由主成分分析法构造回归模型。即把各主成分作为新自变量代替原来自变量x做回归分析。
降低计算量
用主成分分析筛选回归变量。回归变量的选择有着重的实际意义，为了使模型本身易于做结构分析、控制和预报，好从原始变量所构成的子集合中选择最佳变量，构成最佳变量集合。用主成分分析筛选变量，可以用较少的计算量来选择量，获得选择最佳变量子集合的效果。
以下是一个使用 Python 的示例代码，演示如何使用 scikit-learn 库进行主成分分析：
首先，确保已安装 scikit-learn 库，可以通过以下命令安装：
1
| pip install scikit-learn
|
接下来，使用下面的代码示例：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
| import numpy as np
from sklearn.decomposition import PCA
import matplotlib.pyplot as plt
np.random.seed(0)
X = np.random.randn(100, 2)
pca = PCA(n_components=1)
X_pca = pca.fit_transform(X)
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], label='Original Data')
plt.scatter(X_pca, np.zeros(X_pca.shape), label='PCA')
plt.legend()
plt.xlabel('Feature 1')
plt.ylabel('Feature 2')
plt.title('PCA Example')
plt.show()
print("Explained Variance Ratio:", pca.explained_variance_ratio_)
|
在上述代码中，我们首先生成了一个随机样本数据 X，其中每个样本有两个特征。然后，使用 PCA 类进行主成分分析，将数据降维到一个维度。通过绘制散点图，您可以观察原始数据和降维后的数据之间的关系。最后，我们打印出主成分分析后的方差解释比例，这是降维后保留的信息量。
请注意，PCA 的应用范围不仅限于这个简单的示例，它可以用于处理更复杂的数据，如图像、文本等。在实际应用中，您可能需要根据数据的特点进行调整和优化。